Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych

Twierdzenie o ciągach jednomonotonicznych – jedna z podstawowych nierówności w matematyce. Można za jej pomocą dowieść wielu innych nierówności, takich jak nierówności między średnimi, nierówność Cauchy’ego-Schwarza, nierówność Czebyszewa.

Twierdzenie

Niech ciągi oraz liczb rzeczywistych będą jednomonotoniczne, tzn. takie, że zachodzą nierówności:


i

lub

i

Wówczas prawdziwe są nierówności:

gdzie jest dowolną permutacją ciągu

Twierdzenie to jest prawdziwe również dla więcej niż dwóch ciągów, tak długo, jak są one tej samej monotoniczności.

Dowód

W pierwszej kolejności sformułujmy tezę poprawniej.

Twierdzenie

Niech będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości i niech będzie permutacją na zbiorze Wówczas

Skupimy się na pierwszej z nierówności, gdyż druga już z niej wynika dość łatwo. Dowód będzie indukcyjny

Oczywiście dla ciągów o długości jeden teza jest oczywista.

Załóżmy zatem, że dowodzona nierówność zachodzi dla ciągów długości i niech będą ciągami o zgodnej monotoniczności długości Niech ponadto będzie permutacją zbioru Jeśli to jest permutacją zbioru i wówczas

Załóżmy zatem, że i niech dla

Oczywiście jest permutacją na zbiorze

Ponadto mamy

oraz

skąd natychmiast

co należało dowieść.

Druga nierówność wynika z zastosowania pierwszej do ciągu