Twierdzenie o wartości średniej (rachunek całkowy)

Twierdzenie o wartości średniej – każde z kilku poniższych twierdzeń wiążących wartość całki oznaczonej funkcji całkowalnej (w sensie Riemanna lub Lebesgue’a) na danym zbiorze z pewną wielkością, która w spełnia rolę „wartości średniej” funkcji, bądź należy do danego zbioru.

Wszystkie rozpatrywane funkcje są funkcjami rzeczywistymi określonymi na przedziale

Pierwsze twierdzenie

Jeżeli funkcja jest ograniczona: i całkowalna, to istnieje taka liczba że:

W przypadku gdy funkcja jest ciągła, tezę twierdzenia można wzmocnić następująco:

istnieje punkt taki, że

Intuicyjnie jest jasne, że ze względu na całkę, właśnie jest „średnią” wartością funkcji w przedziale

Uogólnienie

Ta wersja dotyczy dwóch funkcji całkowalnych, jeżeli przyjmiemy w nim to otrzymamy powyższą wersję.

Jeżeli funkcje są całkowalne, jest ograniczona: a zachowuje znak w tym przedziale, to

Jak poprzednio, w sytuacji, gdy jest funkcją ciągłą, w tezie twierdzenia można postulować istnienie takiego punktu że:

Drugie twierdzenie

Twierdzenie to również dotyczy całki z iloczynu dwóch funkcji.

Jeżeli funkcja jest monotonicznie malejąca i nieujemna, a całkowalna, to istnieje taki punkt że:

Najmocniejsza wersja tego twierdzenia pochodzi od japońskiego matematyka Hiroshiego Okamury (1947) i ma następującą postać:

Jeżeli funkcja jest monotonicznie malejąca, a całkowalna, to istnieje taki punkt że:
Przez i rozumiemy tu odpowiednie granice jednostronne funkcji

Zobacz też

Bibliografia