Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego

Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego – twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.

Wypowiedź twierdzenia

Niech będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony[1].

Dowód

Załóżmy, że ciąg jest niemalejący oraz ograniczony. Zbiór jest niepusty i ograniczony z góry, więc na mocy aksjomatu ciągłości ma kres górny, niech Dla każdego istnieje takie naturalne że jako że w przeciwnym wypadku byłoby ograniczeniem górnym mniejszym od co przeczy definicji jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro jest niemalejący, to

co oznacza, że ciąg jest zbieżny i jego granicą jest

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód dla ciągu nierosnącego jest analogiczny – wykorzystuje własność mówiącą, że niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum

Zobacz też

Przypisy

  1. Uogólnienie tego twierdzenia zostało podane w: John Bibby. Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences. „Glasgow Mathematical Journal”. 15, s. 63–65, 1974. 

Bibliografia

  • Tadeusz Krasiński: Analiza matematyczna. Funkcje jednej zmiennej. Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003. ISBN 83-7171-636-2.
  • Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1982, s. 50. ISBN 83-01-02846-7.