Twierdzenie tangensów

Twierdzenie tangensów, wzór tangensów, twierdzenie Regiomontana – twierdzenie określające zależności między kątami i bokami trójkąta.

Twierdzenie

Jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są długościami boków trójkąta, a ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność^[1]:

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

Dowód

Z twierdzenia sinusów wynikają równości:

${\displaystyle a=2R\sin \alpha }$ i ${\displaystyle b=2R\sin \beta ,}$

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2R\sin {\alpha }-2R\sin {\beta }}{2R\sin {\alpha }+2R\sin {\beta }}}={\frac {\sin {\alpha }-\sin {\beta }}{\sin {\alpha }+\sin {\beta }}}}$

Korzystając z wzoru na sumę sinusów i tożsamości ${\displaystyle \operatorname {tg} \varphi ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}}$ otrzymujemy

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}}.}$

Twierdzenie tangensów w trygonometrii sferycznej

Dla trójkątów sferycznych obowiązuje analogiczne twierdzenie:

Jeśli ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ są długościami boków trójkąta sferycznego, a ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, wówczas prawdziwa jest zależność:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {tg} {\frac {a-b}{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {a+b}{2}}}}={\frac {\operatorname {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\operatorname {tg} {\frac {\alpha +\beta }{2}}}},}$

Zobacz też

• twierdzenie cosinusów

Przypisy