Wariacja bez powtórzeń

Wariacja bez powtórzeń – dowolny ciąg różnych elementów wybranych z pewnego skończonego zbioru. Jeśli zbiór jest n-elementowy, ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n,}$ to ciąg o długości ${\displaystyle k}$ jest określany jako k-wyrazowa wariacja bez powtórzeń zbioru n-elementowego^[1]. Oczywiście kolejność elementów w ciągu ma znaczenie. Gdy ${\displaystyle k=n,}$ wariację bez powtórzeń nazywa się permutacją.

Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego wyraża się wzorem:

${\displaystyle V_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1).}$

k-wyrazową wariację bez powtórzeń zbioru n-elementowego można interpretować jako funkcję różnowartościową (iniekcję) ze zbioru k-elementowego w zbiór n-elementowy.

Na kalkulatorach liczbę wszystkich wariacji bez powtórzeń ze zbioru r-elementowego do zbioru n-elementowego wyraża się znakiem nPr.

Przykłady

• Ze zbioru {a,b,c} można utworzyć następujące 2-elementowe wariacje:

ab, ac, ba, bc, ca, cb

(dla uproszczenia zapisu ciągi nie są ujęte w nawiasy, elementy ciągów nie są oddzielone przecinkami).

• Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 można utworzyć ${\displaystyle {\tfrac {5!}{(5-3)!}}=60}$ liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach.

Związki z innymi wzorami kombinatorycznymi

${\displaystyle V_{n}^{k}=C_{n}^{k}\cdot P_{k}}$

${\displaystyle V_{n}^{n-1}=V_{n}^{n}=P_{n}}$

gdzie ${\displaystyle C_{n}^{k}}$ jest liczbą k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego, a ${\displaystyle P_{n}}$ jest liczbą permutacji zbioru n-elementowego.

Przypisy