Warunek Cauchy’ego według miary

Warunek Cauchy’ego według miary – przeniesienie pojęcia warunku Cauchy’ego na ciągi funkcji mierzalnych.

Definicja

Niech ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\mu )}$ będzie przestrzenią z miarą, dalej niech ${\displaystyle A\in {\mathfrak {M}}}$ i ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ będzie ciągiem funkcji mierzalnych (prawie wszędzie skończonych) ${\displaystyle f,f_{n}\colon A\to {\overline {\mathbb {R} }},\;n\in \mathbb {N} .}$

Mówimy, że ciąg ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ spełnia warunek Cauchy’ego według miary ${\displaystyle \mu }$ (na zbiorze ${\displaystyle A}$) wtedy i tylko wtedy, gdy

${\displaystyle \bigwedge _{\varepsilon >0}\bigwedge _{\eta >0}\bigvee _{n_{0}\in \mathbb {N} }\bigwedge _{p,q\geqslant n_{0}}}$${\displaystyle \mu \left(\{x\in A\colon f_{p}(x),f_{q}(x)\in \mathbb {R} ,|f_{p}(x)-f_{q}(x)|\geqslant \varepsilon \}\right)<\eta }$

Własności

• Ciąg jest zbieżny według miary wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy’ego według miary.
• Twierdzenie Riesza.

Zobacz też

• twierdzenie Jegorowa
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej
• twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej