Widmo macierzy

Widmo macierzy (spektrum macierzy) – zbiór wszystkich wartości własnych danej macierzy kwadratowej ${\displaystyle A\in K_{n}^{n}.}$ Zbiór ten oznaczany jest symbolem ${\displaystyle \sigma (A).}$ Widmo macierzy jest szczególnym przypadkiem widma operatora przestrzeni skończenie wymiarowej.

Definicja

Niech ${\displaystyle K}$ będzie ciałem oraz ${\displaystyle A\in K_{n}^{n}.}$ Zbiór ${\displaystyle \{\lambda \in K\colon \det(A-\lambda I)=0\}}$ nazywamy widmem (spektrum) macierzy ${\displaystyle A}$ i oznaczamy ${\displaystyle \sigma (A).}$

W powyższej definicji ${\displaystyle I}$ oznacza macierzą jednostkową stopnia ${\displaystyle n.}$

Promieniem spektralnym macierzy ${\displaystyle A\in K_{n}^{n}}$ nazywamy liczbę

${\displaystyle \rho (A)=\max\{|\lambda |\colon \;\lambda \in \sigma (A)\}=\max _{1\leqslant i\leqslant s}|\lambda _{i}|,}$

gdzie ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{s}}$ są wartościami własnymi macierzy ${\displaystyle A.}$

Zobacz też

• norma spektralna
• teoria spektralna
• widmo operatora
• wyznacznik