Wielomian charakterystyczny

Wielomian charakterystyczny – wielomian zawierający informacje o niektórych własnościach macierzy kwadratowej, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku i śladzie.

Motywacja

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować, tworząc wielomian, którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości to wielomian charakterystyczny ma postać:

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu, że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy sytuacja wygląda następująco: jeśli jest wartością własną to istnieje wektor własny taki że

czyli

(gdzie jest macierzą jednostkową). Ponieważ jest niezerowy, oznacza to, że macierz jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu są wartościami własnymi

Definicja

Niech gdzie jest pewnym ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej definiuje się jako[1]:

Przykład

Dla obliczenia wielomianu charakterystycznego macierzy

należy obliczyć wyznacznik macierzy

Ma on postać

Własności

Stopień wielomianu charakterystycznego macierzy jest równy Wyraz wolny tego wielomianu jest równy współczynnik przy jest równy (gdzie tr oznacza ślad macierzy).

Dla macierzy zachodzi zatem:

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz stopnia nieparzystego ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego samą macierz otrzyma się macierz zerową: A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę – macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad

Zobacz też

  • wielomian charakterystyczny układu

Przypisy

  1. Wielomian charakterystyczny, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-07-21].

Media użyte na tej stronie

Matris.png
Autor: Svjo, Licencja: CC BY-SA 4.0
Matrix