Wielomiany Laguerre’a

Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre’a

Wielomiany Laguerre’a – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych zdefiniowane jako:

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}e^{-x}\right).}$

Funkcja generująca

Wielomiany Laguerre’a są współczynnikami przy potęgach ${\displaystyle z}$ w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji

${\displaystyle g(x,z)={\frac {\exp \left(-{\frac {zx}{1-z}}\right)}{1-z}}.}$

Zachodzi zależność:

${\displaystyle g(x,z)={\frac {\exp \left(-{\frac {zx}{1-z}}\right)}{1-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)z^{n}.}$

Własności

• ${\displaystyle L_{n}(0)=1}$
• ${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{2\pi i}}\oint {\frac {s^{n}e^{-s}}{(s-x)^{n+1}}}ds}$ gdzie całkowanie odbywa się po dowolnym konturze zawierającym x.
• ${\displaystyle (n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}$
• ${\displaystyle x{\frac {dL_{n}(x)}{dx}}=nL_{n}(x)-nL_{n-1}(x)}$

Zobacz też

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Czebyszewa
• wielomiany Hermite’a
• wielomiany Legendre’a