Wymiar Hausdorffa

Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa^[1].

Definicja

Niech ${\displaystyle s>0.}$ Niech ${\displaystyle (X,d)}$ będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru ${\displaystyle E\subseteq X}$ określamy miarę zewnętrzną

${\displaystyle H_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\sum _{i=1}^{\infty }\operatorname {diam} (A_{i})^{s}\right\},}$

gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i},}$ które pokrywają ${\displaystyle E}$ i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej ${\displaystyle \delta .}$

Gdy ${\displaystyle \delta }$ maleje, to ${\displaystyle H_{\delta }^{s}(E)}$ rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa^[2] (dla wykładnika ${\displaystyle s}$):

${\displaystyle H^{s}(E)=\lim _{\delta \to 0}~H_{\delta }^{s}(E).}$

Łatwo sprawdzić, że:

• ${\displaystyle H^{s}(E)=0\implies H^{t}(E)=0\quad {}}$ dla każdego ${\displaystyle t>s;}$
• ${\displaystyle H^{s}(E)=\infty \implies H^{t}(E)=\infty \quad {}}$ dla każdego ${\displaystyle t<s.}$

Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako

${\displaystyle \dim _{H}(E)=\inf\{s\colon H^{s}(E)=0\}=\sup\{s\colon H^{s}(E)=\infty \}.}$

Wymiar Hausdorffa a wymiar topologiczny

Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze niemniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)^[3] udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.

Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)^[4] wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez ${\displaystyle \log(\varepsilon ).}$

Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry’ego Wallmana^[5]; patrz też rosyjskie tłumaczenie^[6], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.

Praktyczna metoda wyznaczania

Ten artykuł należy dopracować: Nie da się tego napisać po ludzku? Autor to rozumie, bo zna, lecz gdyby nie znał?. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne^[7]. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia^[8][9]:

Niech ${\displaystyle A_{\infty }}$ będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań ${\displaystyle w_{1},\dots ,w_{k},}$ będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}.}$ Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego ${\displaystyle i\neq j}$ zachodzi ${\displaystyle w_{i}(A_{\infty })\cap w_{j}(A_{\infty })=\emptyset .}$ Wtedy wymiar Hausdorffa ${\displaystyle \dim _{H}(A_{\infty })}$ jest równy liczbie ${\displaystyle r}$ będącej rozwiązaniem równania:

${\displaystyle |a_{1}|^{r}+\dots +|a_{k}|^{r}=1.}$

Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary ${\displaystyle H^{s}{:}}$

${\displaystyle H^{s}(A_{\infty })=H^{s}(w_{1}(A_{\infty }))+\dots +H^{s}(w_{k}(A_{\infty })),}$

${\displaystyle H^{s}(A_{\infty })=|a_{1}|^{s}H^{s}(A_{\infty })+\dots +|a_{k}|^{s}H^{s}(A_{\infty }),}$

${\displaystyle 1=|a_{1}|^{s}+\dots +|a_{k}|^{s}.}$

Przykład: dywan Sierpińskiego:

Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa ${\displaystyle a_{i}=1/3.}$ Wtedy rozwiązaniem równania

${\displaystyle 8\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{r}=1}$

jest ${\displaystyle r={\frac {\log(8)}{\log(3)}}\approx 1{,}8928.}$

Dla kostki Mengera będzie to więc ${\displaystyle \log(20)/\log(3),}$ dla piramidy Sierpińskiego ${\displaystyle \log(4)/\log(2)=2,}$ a dla zbioru Cantora ${\displaystyle \log(2)/\log(3).}$

Przypisy