Wzór Herona

Trójkąt o bokach a, b i c

Wzór Herona – wzór pozwalający obliczyć pole (S) trójkąta, jeśli znane są długości a, b, c jego boków. Wzór znany był już Archimedesowi, a jego nazwa pochodzi od Herona, który podał go w swojej Metryce.

Niech ${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c)}$ oznacza połowę obwodu trójkąta. Wtedy jego pole S wynosi^[1]:

${\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}}.}$

Wzór Herona może zostać wykorzystany do obliczeń, nawet jeżeli odcinki o podanych długościach nie tworzą trójkąta. W sytuacji, gdy wszystkie trzy odcinki i wszystkie trzy łączące je punkty leżą na jednej prostej, na przykład, gdy zachodzi równość ${\displaystyle a+b=c,}$ więc wyrażenie ${\displaystyle p-c}$ jest równe ${\displaystyle 0,}$ co powoduje, że ${\displaystyle S=0.}$

Jeżeli natomiast odcinkami o podanych długościach nie można połączyć trzech punktów tej samej płaszczyzny, tzn. ${\displaystyle a+b<c,}$ to wartość ${\displaystyle p-c<0,}$ co sprawia, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest ujemne, a więc ${\displaystyle S\notin \mathbb {R} .}$

Dowód

W dowodzie wykorzystamy inny wzór na pole trójkąta

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }.}$

W tym celu, korzystając z twierdzenia cosinusów, wyznaczmy wartość kwadratu cosinusa kąta ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \cos ^{2}{\alpha }=\left({\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}}{-2bc}}\right)^{2}=\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}.}$

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i przekształceń algebraicznych, otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{\alpha }&=1-\cos ^{2}{\alpha }\\&=1-\left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)^{2}\\&=\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)\\&={\frac {2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2bc}}\\&={\frac {(b+c)^{2}-a^{2}}{2bc}}\cdot {\frac {a^{2}-(b-c)^{2}}{2bc}}\\&={\frac {(b+c+a)(b+c-a)}{2bc}}\cdot {\frac {(a+b-c)(a-b+c)}{2bc}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle p}$ oznacza połowę obwodu trójkąta, więc:

${\displaystyle b+c+a=2p}$

${\displaystyle a+b-c=2p-2c=2(p-c)}$

${\displaystyle a-b+c=2p-2b=2(p-b)}$

${\displaystyle b+c-a=2p-2a=2(p-a)}$

${\displaystyle \sin ^{2}{\alpha }={\frac {2p\cdot 2(p-a)}{2bc}}\cdot {\frac {2(p-c)\cdot 2(p-b)}{2bc}}={\frac {4}{b^{2}c^{2}}}\ p(p-a)(p-b)(p-c)}$

${\displaystyle \sin {\alpha }={\frac {2}{bc}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

Podstawiając otrzymany wynik do wymienionego na początku wyrażenia, otrzymujemy wzór Herona.

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ bc\sin {\alpha }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}$

Postać wyznacznikowa

${\displaystyle S={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}}{4}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\end{vmatrix}}}}}$

Wzór na pole z wykorzystaniem wysokości

Jeśli ${\displaystyle h_{a},h_{b},h_{c}}$ są wysokościami trójkąta o bokach odpowiednio ${\displaystyle a,b,c,}$ to ${\displaystyle a={\frac {2S}{h_{a}}},b={\frac {2S}{h_{b}}},c={\frac {2S}{h_{c}}}.}$ Po podstawieniu tych wzorów do wzoru Herona i prostych przekształceniach otrzymujemy:

${\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{a}}}-{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})(-{\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})}}}}$

Wzór Brahmagupty

Wzór Brahmagupty to wzór analogiczny do wzoru Herona, który pozwala obliczyć pole S czworokąta o bokach długości ${\displaystyle a,\,b,\,c,\,d}$ wpisanego w okrąg:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}},}$

gdzie:

${\displaystyle p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)}$

oznacza połowę obwodu czworokąta.

Dla dowolnego czworokąta (również niewpisanego w okrąg), wzór na jego pole przedstawia się następująco:

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\theta }},}$

gdzie ${\displaystyle \theta }$ to połowa sumy dowolnej pary dwóch przeciwległych kątów czworokąta. W przypadku czworokątów wpisanych w okrąg suma tych kątów jest równa i wynosi 180°.

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Heron’s Formula, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Brahmagupta’s Formula, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).