Zasadnicze twierdzenie algebry

Zasadnicze (podstawowe) twierdzenie algebry – twierdzenie algebry i analizy zespolonej mówiące, że każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma pierwiastek (w ciele liczb zespolonych)^[1]. Innymi słowy, ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte. Konsekwencją zasadniczego twierdzenia algebry i twierdzenia Bézouta jest następujące twierdzenie (często zwane również zasadniczym twierdzeniem algebry):

Twierdzenie

Stopień niezerowego wielomianu zespolonego jest równy sumie krotności jego zespolonych pierwiastków. Jest to równoważne temu, iż każdy wielomian zespolony stopnia ${\displaystyle n>0}$ można przedstawić w postaci iloczynu

${\displaystyle a(z-z_{1})(z-z_{2})\dots (z-z_{n})}$

dla pewnych ${\displaystyle a,z_{1},\dots ,z_{n}\in \mathbb {C} .}$

Uwaga

Inaczej niż w przypadku zespolonym wygląda sprawa wielomianów rzeczywistych i ich pierwiastków rzeczywistych – wielomian stopnia ${\displaystyle n}$ może nie mieć wcale pierwiastków, a jeśli ma, to jest ich co najwyżej ${\displaystyle n.}$ Natomiast każdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty (wynika to z faktu, że granice niewłaściwe wielomianu rzeczywistego stopnia nieparzystego w ${\displaystyle \pm \infty }$ są różnych znaków, a także z faktu, że wielomian jako funkcja ciągła ma własność Darboux – a zatem musi przyjąć wartość pośrednią 0).

Historia

Twierdzenie zostało udowodnione w 1799 r. przez Gaussa, który podał później kilkanaście innych dowodów tego twierdzenia. Przed Gaussem co najmniej sześciu innych matematyków podało dowody zasadniczego twierdzenia algebry. W kolejności ukazywania się, dowody były podawane przez d’Alemberta, Eulera, Foncenexa, Lagrange’a, Laplace’a i Wooda. Były one jednak niekompletne lub zawierały luki i dlatego nie zostały powszechnie uznane. Trzeba zauważyć, że dowód Gaussa również zawierał lukę, chociaż bardziej subtelną^[2].

Nazwa

Określenie „zasadnicze (lub podstawowe) twierdzenie algebry” wydaje się dziś nieco przesadzone, powstało ono jednak w czasach, gdy problem rozwiązalności równań algebraicznych był jednym z głównych tematów zainteresowań matematyków.

O dowodach

Dowody zasadniczego twierdzenia algebry można dzielić na „algebraiczne” i „analityczne” (tzn. odwołujące się do wyników i pojęć analizy matematycznej, szczególnie do ciągłości). Z reguły „bardziej algebraiczne” dowody są dłuższe i bardziej skomplikowane. Oprócz tego, nawet w „najbardziej algebraicznych” dowodach nie potrafimy uniknąć stosowania niektórych twierdzeń analizy matematycznej, a więc dowód nie będzie „zupełnie algebraiczny”. Twierdzenia analizy zespolonej takie, jak twierdzenie Liouville’a czy twierdzenie Rouchégo, znacznie upraszczają dowód zasadniczego twierdzenia algebry.

W poniższych dowodach będą stosowane następujące znane fakty:

• funkcje wielomianowe są ciągłe (na płaszczyźnie zespolonej);
• twierdzenie Weierstrassa: funkcja określona na przestrzeni zwartej o wartościach rzeczywistych osiąga swoje kresy, dokładniej jeśli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią zwartą, a ${\displaystyle f}$ jest rzeczywistą funkcją ciągłą na ${\displaystyle X,}$ to istnieją takie punkty ${\displaystyle a,b\in X,}$ że

${\displaystyle f(a)=\min\{f(x):x\in X\}}$

oraz

${\displaystyle f(b)=\max\{f(x):x\in X\}.}$

• domknięte i ograniczone podzbiory płaszczyzny zespolonej są zwarte.

Dowód oparty na twierdzeniu Liouville’a

• Twierdzenie Liouville’a: ograniczona funkcja całkowita jest stała. Innymi słowy: jeżeli funkcja zespolona jest analityczna na całej płaszczyźnie zespolonej i nie jest stała, to jest ona nieograniczona.

Niech ${\displaystyle f}$ będzie dowolnym wielomianem zespolonym stopnia dodatniego, tzn. wielomian ${\displaystyle f}$ nie jest funkcją stałą. Wiadomo, że wielomiany są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej. Z twierdzenia Liouville’a wynika, że funkcja ${\displaystyle f}$ jest nieograniczona. Wówczas dla dowolnego ${\displaystyle M>0}$ istnieje takie ${\displaystyle R>0,}$ że w zewnętrzu okręgu ${\displaystyle |z|=R}$ (inaczej mówiąc, dla ${\displaystyle |z|>R}$) spełniona jest nierówność ${\displaystyle |f(z)|>M.}$ Niech ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle R}$ będą ustalonymi liczbami o tych własnościach.

Przypuśćmy, że wielomian ${\displaystyle f}$ nie ma żadnego pierwiastka zespolonego, tzn. ${\displaystyle f(z)\neq 0}$ dla każdej liczby zespolonej ${\displaystyle z.}$ Wówczas funkcja ${\displaystyle g}$ dana wzorem:

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)}}}$

jest określona na całej płaszczyźnie, a ponadto analityczna. Wówczas dla ${\displaystyle |z|>R}$ zachodzi nierówność:

${\displaystyle |g(z)|<{\frac {1}{M}},}$

ponieważ ${\displaystyle |f(z)|>M}$ dla ${\displaystyle |z|>R.}$

Należy teraz rozpatrzeć, co dzieje się z wartościami funkcji ${\displaystyle f}$ w kole ${\displaystyle |z|\leqslant R.}$ Rozważmy funkcję

${\displaystyle z\mapsto |f(z)|,}$

która przyjmuje wartości rzeczywiste. Ponieważ koło domknięte ${\displaystyle |z|\leqslant R}$ jest zbiorem zwartym, istnieje więc taki jego element ${\displaystyle z_{0},}$ że:

${\displaystyle |f(z_{0})|=\min\{|f(z)|:|z|\leqslant R\}>0.}$

Wynika stąd, że:

${\displaystyle |g(z)|\leqslant {\frac {1}{|f(z_{0})|}}.}$

Możemy tym samym oszacować funkcję ${\displaystyle g}$ na całej płaszczyźnie:

${\displaystyle |g(z)|\leqslant \max \left\{{\frac {1}{M}},\ {\frac {1}{|f(z_{0})|}}\right\}.}$

Wówczas z twierdzenia Liouville’a wynika, że ${\displaystyle g}$ jest stała, ale wtedy:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{g(z)}}}$

też jest stała, co jest sprzeczne z przypuszczeniem, a zatem wielomian ${\displaystyle f}$ ma pierwiastek zespolony.

Przykład innego dowodu

Wystarczy wykazać, że dla każdego wielomianu zespolonego

${\displaystyle v(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n},\;a_{0}\neq 0,\;a_{n}\neq 0,\;n\geqslant 1}$

istnieje taka liczba zespolona ${\displaystyle x_{0},}$ że

${\displaystyle |v(x_{0})|=0.}$

Lemat 1

Jeśli ${\displaystyle v}$ jest niezerowym wielomianem o współczynnikach zespolonych, to

${\displaystyle (\exists {r>0})(\forall {x\in \mathbb {C} })(|x|>r\Rightarrow |v(x)|>|v(0)|=|a_{0}|)}$

Dowód

Niech

${\displaystyle v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}.}$

Wówczas

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}|v(x)|&=&|x|^{n}|a_{n}+a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\dots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|\\&=&|x|^{n}|a_{n}+w(x)|\end{array}},}$

gdzie:

${\displaystyle w(y)=a_{n-1}y+\dots +a_{0}y^{n}.}$

Z ciągłości funkcji wielomianowej ${\displaystyle w}$ oraz faktu, że ${\displaystyle w(0)=0,}$ dla pewnego ${\displaystyle R>0}$ spełniony jest warunek

${\displaystyle |w(y)|<{\frac {|a_{n}|}{2}}}$

o ile tylko ${\displaystyle |y|<R.}$ Stąd, jeśli

${\displaystyle {\frac {1}{|y|}}>{\frac {1}{R}},}$

to

${\displaystyle \left|w\left({\tfrac {1}{y}}\right)\right|>{\tfrac {|a_{n}|}{2}}.}$

Podstawiając ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}},}$ dostajemy

${\displaystyle |w(x)|>{\tfrac {|a_{n}|}{2}}}$

dla wszystkich ${\displaystyle |x|>{\tfrac {1}{R}}.}$

Ostatecznie:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}|v(x)|&=&|x|^{n}|a_{n}+a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\dots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|\\&\geqslant &|x|^{n}(|a_{n}|-|a_{n-1}({\tfrac {1}{x}})+\dots +a_{1}({\tfrac {1}{x}})^{n-1}+a_{0}({\tfrac {1}{x}})^{n}|)\\&\geqslant &{\frac {|a_{n}|}{2}}|x|^{n}\end{array}},}$

oraz

${\displaystyle {\frac {|a_{n}|}{2}}|x|^{n}>|a_{0}|,}$

gdy

${\displaystyle |x|>{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}.}$

Istnieje więc takie ${\displaystyle r>0,}$ że teza lematu jest spełniona, mianowicie:

${\displaystyle r=\max \left\{{\frac {1}{R}},{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}\right\}.}$

Lemat Cauchy’ego

Dla każdego wielomianu ${\displaystyle v}$ o współczynnikach zespolonych, dla którego ${\displaystyle v(0)\neq 0,}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle r>0,}$ że minimum funkcji ${\displaystyle |v(x)|}$ jest osiągnięte w kole ${\displaystyle |x|\leqslant r.}$

Dowód

Niech

${\displaystyle v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},}$

przy czym ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$ Niech ponadto

${\displaystyle r=\max \left\{{\frac {1}{R}},{\sqrt[{n}]{\tfrac {2|a_{0}|}{|a_{n}|}}}\right\}.}$

Wówczas z Lematu 1 wynika, iż poza kołem ${\displaystyle |x|\leqslant r}$ spełniona jest nierówność ${\displaystyle |v(x)|>|a_{0}|.}$ Ponieważ koło ${\displaystyle |x|\leqslant r}$ jest zbiorem zwartym, funkcja ${\displaystyle |v(x)|}$ przyjmuje w nim minimum lokalne dla pewnego ${\displaystyle x_{0}}$ spełniającego ${\displaystyle |x_{0}|\leqslant r.}$ W szczególności, ${\displaystyle |v(x_{0})|>|a_{0}|.}$ Zatem ${\displaystyle x_{0}}$ jest również minimum globalnym funkcji ${\displaystyle |v(x)|.}$

Lemat 2

Niech ${\displaystyle p}$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych, spełniającym warunek ${\displaystyle p(0)\neq 0}$ oraz niech ${\displaystyle k}$ będzie dowolną liczbą naturalną. Wówczas dla każdej niezerowej liczby zespolonej ${\displaystyle a}$ istnieje taka liczba zespolona ${\displaystyle b,}$ że

${\displaystyle |a+b^{k}p(b)|<|a|.}$

Dowód

Niech ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle k}$ będą takie jak wyżej. Z ciągłości funkcji wielomianowej ${\displaystyle p}$ wynika, iż istnieje takie ${\displaystyle \delta >0,}$ że

${\displaystyle |p(x)-p(0)|<{\tfrac {|p(0)|}{2}}}$

o ile ${\displaystyle |x|<\delta .}$ Niech ${\displaystyle a}$ będzie niezerową liczbą zespoloną. Wówczas

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}|a+x^{k}p(x)|&\leqslant &|a+x^{k}p(0)|+|x|^{k}|p(x)-p(0)|\\&\leqslant &|a+x^{k}p(0)|+{\frac {|x|^{k}|p(0)|}{2}}.\end{array}}}$

Niech ${\displaystyle b\in \mathbb {C} ,}$ wówczas

${\displaystyle p(0)b^{k}=-ta}$ dla ${\displaystyle 0<t<1.}$

Dla każdego ${\displaystyle t>0}$ istnieje ${\displaystyle b,}$ które spełnia powyższą równość.

${\displaystyle |a+p(0)b^{k}|=|a-ta|=(1-t)|a|}$

${\displaystyle {\frac {|p(0)||b|^{k}}{2}}={\frac {t|a|}{2}}}$

Jeżeli ${\displaystyle b}$ jest takie, że ${\displaystyle |b|<\delta }$ to:

${\displaystyle |a+b^{k}p(b)|\leqslant (1-t)|a|+{\tfrac {t|a|}{2}}=(1-{\tfrac {t}{2}})|a|<|a|}$

i twierdzenie zachodzi, ale żeby było ${\displaystyle |b|<\delta ,}$ to musi być ${\displaystyle |b|^{k}<\delta ^{k},}$ czyli:

${\displaystyle |p(0)|\,|b|^{k}=t|a|<|p(0)|\,|\delta |^{k}\implies t<{\frac {|p(0)|\delta ^{k}}{|a|}}.}$

Lemat d’Alemberta-Arganda^[3][4]

Niech ${\displaystyle v}$ będzie wielomianem o współczynnikach zespolonych stopnia co najmniej pierwszego, który spełnia warunek ${\displaystyle v(0)=a_{0}\neq 0.}$ Dla każdej liczby zespolonej ${\displaystyle x_{0},}$ dla której ${\displaystyle |v(x_{0})|>0,}$ istnieje taka liczba ${\displaystyle y_{0},}$ że

${\displaystyle |v(y_{0})|<|v(x_{0})|.}$

Dowód

${\displaystyle v(x+x_{0})=a_{0}+a_{1}(x+x_{0})+\dots +a_{n}(x+x_{0})^{n}=a_{0}+a_{1}x_{0}+\dots +a_{n}x_{0}^{n}+x^{k}w(x)=v(x_{0})+x^{k}w(x),}$

przy czym ${\displaystyle w(0)\neq 0.}$ Z Lematu 2 wynika, że istnieje taka liczba zespolona ${\displaystyle b,}$ iż

${\displaystyle |v(x_{0})+b^{k}w(b)|<|v(x_{0})|,}$

czyli

${\displaystyle |v(x_{0}+b)|<|v(x_{0})|.}$

Przyjmując ${\displaystyle y_{0}=b+x_{0},}$ otrzymuje się tezę.

Dowód zasadniczego twierdzenia algebry

Z lematu Cauchy’ego i d’Alemberta-Arganda wynika dowód tezy postawionej na początku. Załóżmy bowiem, że ${\displaystyle v\in \mathbb {C} [x]}$ i nie istnieje takie ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ,}$ że ${\displaystyle |v(x)|=0.}$ Wówczas z lematu Cauchy’ego wiemy, że istnieje taki promień ${\displaystyle r,}$ że minimum globalne ${\displaystyle |v(x)|}$ jest przyjęte w kole ${\displaystyle \{x:|x|\leqslant r\}}$ dla pewnego ${\displaystyle x_{0}.}$ Założyliśmy jednak, że ${\displaystyle |v(x)|}$ jest zawsze większe od ${\displaystyle 0,}$ a wtedy z lematu d’Alemberta-Arganda wynika, że istnieje ${\displaystyle y_{0}\in \mathbb {C} }$ takie, że ${\displaystyle |v(y_{0})|<|v(x_{0})|,}$ co stoi w sprzeczności z tym, że w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ funkcja ${\displaystyle |v(x)|}$ przyjmuje minimum globalne, a zatem musi być ${\displaystyle |v(x_{0})|=0.}$

Zobacz też

• ciało algebraicznie domknięte
• twierdzenie Abela-Ruffiniego

Przypisy

Bibliografia

• Franciszek Leja: Funkcje zespolone. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1976, s. 105.

Źródła historyczne

• Augustin Louis Cauchy: Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique. Wyd. 1992. Paris: Éditions Jacques Gabay, 1821. ISBN 2-87647-053-5.
• Leonhard Euler: Recherches sur les racines imaginaires des équations. T. 5. Berlin: 1751, s. 222–288, seria: Histoire de l’Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin.
• Carl Friedrich Gauss: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Helmstedt: C. G. Fleckeisen, 1799.
• C. F. Gauss, “Another new proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable can be resolved into real factors of the first or second degree”, 1815
• HellmuthH. Kneser HellmuthH., Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus, t. 46, Mathematische Zeitschrift, 1940, s. 287–302, ISSN 0025-5874 .
• MartinM. Kneser MartinM., Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra, t. 177, Mathematische Zeitschrift, 1981, s. 285–287, ISSN 0025-5874 .
• Karl Weierstrass: Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale Function einer Veränderlichen dargestellt werden kann als ein Product aus linearen Functionen derselben Veränderlichen. 1891, s. 1085–1101.
• Jeff Suzuki. Lagrange’s Proof of the Fundamental Theorem of Algebra. „The Matematical Association Of America Monthly”. 113, s. 705–714, October 2006. 

Linki zewnętrzne

• TomaszT. Idziaszek TomaszT., Kolorowanie wielomianów, [w:] pismo „Delta” [online], deltami.edu.pl, październik 2008, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).