Zbiór doskonały

Zbiór doskonałyzbiór domknięty i wszędzie gęsty.

Przykładem zbioru doskonałego jest dowolny przedział domknięty zbioru liczb rzeczywistych. Innym, nietrywialnym już przykładem jest zbiór Cantora.

Jeżeli oznacza pochodną zbioru to w przestrzeni T1 zbiór jest doskonały wtedy i tylko wtedy, gdy jest identyczny ze swoją pochodną:

Okazuje się, że każda przestrzeń T1 jest rozłączną sumą dwóch zbiorów, z których jeden jest doskonały, a drugi nie zawiera żadnego niepustego podzbioru w sobie gęstego.

Zbiory doskonałe w przestrzeniach polskich

Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią polską jeśli jest metryzowalna w sposób zupełny i ośrodkowa.

Jeśli jest doskonałą przestrzenią polską, to zawiera kopię homeomorficzną zbioru Cantora. W szczególności oznacza to, że jest mocy

Twierdzenie Cantora-Bendixsona. Niech będzie przestrzenią polską. Wówczas można przedstawić w sposób jednoznaczny w postaci gdzie jest zbiorem doskonałym a zbiorem przeliczalnym otwartym. W szczególności każda nieprzeliczalna przestrzeń polska jest mocy [1].

Przypisy

  1. Alexander S Kechris: Classical descriptive set theory. New York: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.