Zbiór generatorów

Generator, zbiór generatorów, zbiór generujący oraz wyrażenia postaci generuje, jest generowany mają w matematyce kilka blisko powiązanych ze sobą znaczeń technicznych:

• zbiór generatorów algebry: jeżeli ${\displaystyle A}$ jest pierścieniem, a ${\displaystyle B}$ jest ${\displaystyle A}$-algebrą, to ${\displaystyle S}$ generuje ${\displaystyle B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy pod-A-algebrą algebry ${\displaystyle B}$ zawierającą ${\displaystyle S}$ jest sama ${\displaystyle B;}$
• zbiór generatorów grupy: zbiór elementów grupy, które nie zawierają się w dowolnej podgrupie tej grupy poza całą grupą. Zobacz też: prezentacja grupy;
• zbiór generatorów pierścienia: podzbiór ${\displaystyle S}$ pierścienia ${\displaystyle A}$ generuje ${\displaystyle A,}$ jeżeli jedynym podpierścieniem ${\displaystyle A}$ zawierającym ${\displaystyle S}$ jest sam ${\displaystyle A;}$
• zbiór generatorów ideału w pierścieniu.
• zbiór generatorów przestrzeni liniowej: zbiór wektorów nie zawierający się w żadnej podprzestrzeni właściwej danej przestrzeni; czasami nazywany jest zbiorem rozpinającym przestrzeń liniową.
• generator jest pojęciem występującym w teorii kategorii. Zwykle zamierzone znaczenie będzie wynikało z kontekstu;

• w topologii rodzina zbiorów, która generuje topologię nazywana jest podbazą;
• zbiór generatorów algebry topologicznej: ${\displaystyle S}$ jest zbiorem generatorów algebry topologicznej ${\displaystyle A,}$ jeżeli najmniejszą (w sensie zawierania) domkniętą podalgebrą ${\displaystyle A}$ zawierającą ${\displaystyle S}$ jest sama ${\displaystyle A;}$

• elementy algebry Liego powiązanej z grupą Liego nazywane są czasami „generatorami grupy”, szczególnie przez fizyków. O algebrze Liego można myśleć, iż generuje grupę przynajmniej w sensie lokalnym przez podnoszenie do potęgi, jednakże algebra Liego nie stanowi zbioru generującego w ścisłym tego słowa znaczeniu;
• generator dowolnej symetrii ciągłej postulowanej przez twierdzenie Noether wraz z generatorami grupy Liego jako przypadkiem szczególnym. W tym kontekście generator nazywany jest niekiedy ładunkiem lub ładunkiem Noether w analogii do ładunku elektrycznego, który jest generatorem grupy symetrii U(1) elektromagnetyzmu. Stąd, przykładowo, ładunki koloru kwarków są generatorami symetrii kolorów SU(3) w chromodynamice kwantowej. Precyzyjniej „ładunkiem” winno się nazywać układ pierwiastków grupy Liego;
• w analizie stochastycznej dyfuzja Itō lub ogólniej proces Itō ma generator infinitezymalny.