Zbiór otwarto-domknięty

Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów.

Zbiór otwarto-domknięty – podzbiór przestrzeni topologicznej, który jest jednocześnie zbiorem otwartym i domkniętym.

Przykłady

• W każdej przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X,}$ zbiór pusty oraz cała przestrzeń ${\displaystyle X}$ są zbiorami otwarto-domkniętymi.
• Niech przestrzeń ${\displaystyle X=[0,1]\cup [2,3]}$ będzie wyposażona w topologię podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, przestrzeń ${\displaystyle X}$ ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: zbiór pusty, ${\displaystyle X,[0,1],[2,3].}$
• Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór ${\displaystyle A=\{r\in \mathbb {Q} :r^{2}<2\}}$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ Ogólniej, jeśli ${\displaystyle I}$ jest przedziałem liczb rzeczywistych o różnych końcach niewymiernych, to ${\displaystyle I\cap \mathbb {Q} }$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (mimo iż zbiór ten nie jest ani otwarty ani domknięty na prostej ${\displaystyle \mathbb {R} }$).
• Jeśli ${\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} }$ jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to ${\displaystyle J\setminus \mathbb {Q} }$ jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ (ale ten zbiór nie jest ani otwarty ani domknięty w ${\displaystyle \mathbb {R} }$).

Własności

• Przestrzeń topologiczna ${\displaystyle X}$ jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w ${\displaystyle X}$ są zbiór pusty oraz cała przestrzeń ${\displaystyle X.}$
• Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego brzeg jest zbiorem pustym.
• Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
• Rodzina ${\displaystyle \mathrm {Clop} (X)}$ wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni ${\displaystyle X}$ tworzy ciało podzbiorów tej przestrzeni. W szczególności, struktura ${\displaystyle (\mathrm {Clop} (X),\cup ,\cap ,{}',\varnothing ,X)}$ jest algebrą Boole’a.
• Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

Zobacz też

• przestrzeń całkowicie niespójna
• przestrzeń ekstremalnie niespójna
• przestrzeń zero-wymiarowa

Bibliografia

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 234. ISBN 978-83-01-15232-1.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Clopen, [w:] MathWorld [online], Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-09].