Zbieżność według miary

Zbieżność ciągu funkcji według (pewnej) miary to rodzaj zbieżności ciągów funkcyjnych rozważany w teorii miary i analizie matematycznej. Pojęcie pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W teorii prawdopodobieństwa i statystyce ten rodzaj zbieżności nazywany jest zbieżnością według prawdopodobieństwa lub zbieżnością stochastyczną.

Definicja

Teoria miary

Niech będzie przestrzenią z miarą oraz Mówi się, że ciąg funkcji prawie wszędzie skończonych jest zbieżny według miary do funkcji gdy:

Teoria prawdopodobieństwa

Niech będzie przestrzenią probabilistyczną.

Przypadek jednowymiarowy

Niech będą zmiennymi losowymi. Ciąg zmiennych losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do zmiennej jeżeli

Ciąg zmiennych losowych nazywamy stochastycznie zbieżnym do stałej jeżeli

Przypadek wielowymiarowy

Niech będą wektorami losowymi. Ciąg wektorów losowych jest zbieżny według prawdopodobieństwa (lub zbieżny stochastycznie) do wektora jeżeli

gdzie oznacza normę euklidesową w

Uwagi

  • Terminy zbieżność według miary, zbieżność stochastyczna i zbieżność według prawdopodobieństwa są w statystyce i rachunku prawdopodobieństwa stosowane zamiennie.
  • Stochastyczna zbieżność ciągu zmiennych losowych do stałej oznacza, że przy gęstość prawdopodobieństwa koncentruje się wokół wartości tzn. rozkład jednopunktowy jest rozkładem granicznym ciągu
  • Zdanie: „ciąg jest zbieżny według miary do funkcji ”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:

Twierdzenia o zbieżności według miary

Zobacz też

Bibliografia